ピタゴラスの定理の証明

カテゴリー science

2004-06-08 23:56

昔習ったピタゴラスの定理。直角三角形の斜辺の長さの2乗は他2辺の2乗の和に等しい。
x2 + y2 = z2

なぜ全ての直角三角形に対して成り立つのかメモしとく。
ピタゴラスの定理の証明用の図

正方形の中に4点で接する正方形を書く。このとき、4つの直角三角形ができる。

大きな正方形の面積は縦×横なので
(x + y) 2 …(1)

では内部はというと、直角三角形の面積は½xyであり
全体の面積は( 4つの直角三角形) + 正方形だから
½xy * 4 + z2 …(2)

ここで(1)と(2)は等しいのだから
(x + y) 2 = ½xy * 4 + z2
x2 + 2xy + y2 = 2xy + z2
∴ x2 + y2 = z2

つまり直角三角形の斜面上の正方形の面積z2は他の2辺上の正方形の和x2 + y2に等しい。
x^2+y^2=z^2の図

またx、y、zは任意の数値が使われいるので全ての直角三角形に成り立つと言える。


ここでフェルマーの最終定理とは
xn + yn = zn
このnが3以上のとき、式を満たす自然数x、y、zは存在しない。

ピタゴラスの定理とちょっと違うだけなのに、証明できたのは世界で一人。その証明を理解できるのは世界で数名。どんな世界なんだろう？

 

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